[모범답안]  ③

[혜향샘의 해설]

이 문제는 반 힐레 수준을 ‘무엇을 대상으로 사고하고, 무엇을 수단으로 사용하는가’로 구분할 수 있는지를 묻는 좋은 문제입니다. 핵심은 <문항 A>와 <문항 B>의 차이를 정확히 읽는 것입니다.

1. <문항 A>는 어떤 수준인가?

<문항 A>는 “PQRS는 정사각형이다”라고 주고,

1. 마주 보는 변의 길이가 같은가?
2. 대각선의 길이가 같은가?
3. 두 변이 수직인가?
4. 대각선과 변이 수직인가?

처럼 정사각형의 성질을 하나씩 분석하게 합니다.

즉 학생은 더 이상 “이건 정사각형처럼 생겼다”라고 전체적인 모양만 보는 것이 아니라,

도형을 대상으로 하여 그 도형의 성질을 분석한다.

따라서 <문항 A>의 m수준은 기술적·분석적 인식 수준입니다.

반 힐레의 관점에서 표현하면,

사고의 대상: 도형

사고의 수단: 도형의 성질

입니다.

그래서 보기 ③의

“m수준에서는 도형이라는 대상을 도형의 성질이라는 수단에 의해 사고한다.”

가 정확히 들어맞습니다.

2. <문항 B>는 왜 한 단계 높은가?

<문항 B>에서는

1. S: △ABC의 세 변의 길이는 같다.
2. T: △ABC에서 ∠B와 ∠C는 같다.

를 제시한 뒤,

S가 참이면 T는 참인가?

T가 참이면 S는 참인가?

처럼 성질과 성질 사이의 논리적 관계를 판단하게 합니다.

여기에서는 단순히

“정삼각형은 세 변이 같다.”

“두 각의 크기가 같다.”

라는 각각의 성질을 아는 것으로 끝나지 않습니다.

학생이

S⇒T는 참이지만

T⇒S는 반드시 참이 아니라는 식으로 성질 사이의 포함관계·논리관계를 파악해야 합니다.

따라서 n수준은 관계적·추상적 인식 수준입니다.

핵심은 다음과 같습니다.

기술적·분석적 인식 수준: 도형의 성질 하나하나를 파악

관계적·추상적 인식 수준: 여러 성질 사이의 관계를 파악

3. 그래서 ④가 왜 정답이 아닌가?

여기가 학생들이 가장 헷갈릴 만한 부분입니다.

④는

“n수준에서는 명제가 사고의 대상이 되며 명제 사이의 논리적 관계가 정리의 수단으로 등장한다.”

라고 되어 있습니다.

<문항 B>에 논리적 관계가 등장하니까 얼핏 맞는 것처럼 보일 수 있습니다. 그러나 ‘명제 자체를 사고의 대상으로 하고 형식적인 논리구조를 다루는 것’은 더 높은 수준의 특징에 가깝습니다.

<문항 B>에서는 공리·정의·정리로 이루어진 연역체계에서 형식적으로 증명하는 것이 아니라,

“이 성질이면 저 성질이 따라오는가?”

를 성질들 사이의 관계를 중심으로 파악하는 단계입니다.

그래서 이 문제에서 가장 적절한 답은 ③입니다.

학생들에게 설명할 때는 다음처럼 구분하면 좋습니다.

따라서 이 문제의 핵심은 딱 하나입니다.

<문항 A>: 성질을 ‘찾고 분석하는’ 단계 → 기술적·분석적 인식 수준

<문항 B>: 성질과 성질의 관계를 ‘연결하는’ 단계 → 관계적·추상적 인식 수준

그래서 정답은 ③으로 보는 것이 가장 적절합니다.

특히 임용 대비에서는

“기술적·분석적 인식 수준 = 도형의 성질 파악”,

“관계적·추상적 인식 수준 = 성질 간 관계 파악”

이렇게 세트로 기억하게 하면 좋겠습니다.