아주 예전 문제인거 맞죠? 하지만 본 문제를 통해 충분히 많은 지식을 정리할 수 있답니다.

함께 분석해볼게요.

[모범답안] ③

[혜향샘의 해설]

ㄱ. 옳다

학생은 다음과 같이 말합니다.

“1에 아주 가까이 가기는 하지만 1은 아닌 것 같습니다.”

이 학생은 0.999…를 하나의 완성된 수로 받아들이기보다, 0.9, 0.99, 0.999,⋯와 같이 소수점 아래의 9를 계속 덧붙여 가는 끝나지 않는 과정으로 이해하고 있습니다.

즉, 학생에게 0.999…는 현재 완성된 무한소수가 아니라 1에 한없이 가까워져 가는 과정이므로, 학생의 사고에는 가능적 무한, 즉 가무한(potential infinity)의 관점이 반영되어 있습니다.

따라서 ㄱ은 옳습니다.

ㄴ. 옳지 않다

APOS 이론에서 학습자는 다음과 같은 수준으로 개념을 구성합니다.

1. 행동(Action): 외부 지시나 절차에 따라 수행
2. 과정(Process): 행동을 내면화하여 전체 과정을 정신적으로 조절
3. 대상(Object): 그 과정을 하나의 완결된 대상으로 파악
4. 스키마(Schema): 관련된 행동·과정·대상을 조직

교사는 x=0.999...라고 놓고 이를 하나의 수로 다루어 10x를 계산하고, 두 식을 빼고 있습니다.

이때 0.999…는 단순히 끝없이 진행되는 과정이 아니라 하나의 완결된 수학적 대상으로 취급됩니다.

따라서 교사의 이해는 단순한 ‘내면화된 과정 수준’이라기보다, 무한소수를 하나의 수로 파악하는 대상화 또는 캡슐화된 대상 수준에 가깝습니다.

또한 APOS에서 내면화(interiorization)는 행동이 과정으로 전환되는 것을 뜻하므로, “내면화된 수준”을 대상 수준과 동일하게 사용해서는 안 됩니다.

따라서 ㄴ은 옳지 않습니다.

ㄷ. 옳다

교사의 풀이에서는 x=0.999…라고 놓은 후, 10x=9.999…를 만들고 두 식을 빼서 9x=9를 얻습니다.

이 풀이가 정당하려면 0.999…를 나타내는 무한급수가 수렴하여 하나의 실수를 나타내야 합니다.

만약 이 무한급수가 수렴하지 않는 경우에도 같은 방식을 적용한다면, 애초에 x를 하나의 실수로 놓고 대수적으로 조작하는 것 자체가 정당화되지 않습니다.

그럼에도 같은 계산을 적용하면 잘못되거나 모순된 결론에 이를 수 있습니다.

따라서 ㄷ은 옳습니다.

핵심 쟁점: 0.999…=1은 실무한인가, 가무한인가?

예비수학교사들이 흔히 다음과 같이 말합니다.

“0.999…는 무한개의 9가 모두 적혀 있으므로 실무한이다.”

그러나 이 표현은 조심해야 합니다. 표기 자체가 실무한이나 가무한을 결정하는 것은 아닙니다.

1. 0.999…를 하나의 완성된 수로 받아들이는 경우

0.999…를 무한급수의 극한값으로 정의된 하나의 실수로 받아들이면,

0.999…=1입니다.

이때 무한히 많은 항을 하나의 완결된 전체로 파악하므로 실무한 또는 실제적 무한(actual infinity)의 관점입니다.

즉,

0.999…는 1에 가까운 수가 아니라, 바로 1이다.

2. 0.999…를 계속 생성되는 과정으로 받아들이는 경우

학습자가 이를 0.9→0.99→0.999와 같이 이해하면서

“계속 1에 가까워지지만 끝내 1에는 도달하지 않는다.”

라고 생각한다면, 무한을 완성된 전체가 아니라 계속 진행되는 과정으로 이해하는 것입니다.

이것은 가무한 또는 가능적 무한(potential infinity)의 관점입니다.

반드시 기억합시다!

0.999…=1은 수학적 결론을 나타내는 등식이다. 실무한과 가무한의 구분은 이 등식 자체가 아니라, 학습자가 0.999…0.999…를 완성된 하나의 수로 이해하는지, 1에 가까워지는 끝없는 과정으로 이해하는지에 따라 이루어진다.

따라서 이 문제에서 학생이 가무한적 관점을 보인다고 판단하는 근거는 0.999…=1이라는 표기가 아니라,

“1에 아주 가까이 가기는 하지만 1은 아니다.”

라는 학생의 해석입니다.