[모범답안] 분석법, 종합법

[혜향샘의 해설]

이 문제는 분석법과 종합법을 단순 정의로 묻지 않고, 실제 증명 수업의 발문 속에서 구분하게 한 문제라서 다시 볼 가치가 크다. 수업의 흐름을 보면,

㉠에서는 먼저 두 삼각형이 합동이라고 가정하고,

합동이 되려면 어떤 조건이 필요한지 거꾸로 찾는다.

㉡에서는 문제에 주어진 조건과 앞서 찾아낸 조건을 이용하여 실제로 합동을 보인다.

따라서 ㉠ 분석법, ㉡ 종합법 으로 보는 것이 맞다.

조금 더 정확히 말하면,

분석법: 구하려는 결론을 참이라고 보고, 그 결론이 성립하기 위해 필요한 조건을 거꾸로 탐색하는 방법

종합법: 문제에서 주어진 조건과 이미 알고 있는 사실을 출발점으로 하여 결론에 이르는 방법

이 문제의 핵심은 김 교사의 발문에 있다.

“우선 이 두 삼각형이 합동이 된다고 생각하고, 합동이 되기 위해서는 어떤 조건을 만족해야 하는지를 찾아봅니다.”

이 문장이 바로 결론에서 출발하여 필요한 조건을 찾는 분석적 사고를 드러낸다.

그리고 이어서

“문제에서 주어진 조건과 찾아낸 새 조건을 이용하여 두 삼각형이 합동임을 보이고 있습니다.”

는 주어진 조건에서 결론으로 나아가는 종합적 실행이다.

여기서 중요한 수업론적 포인트는,

분석법은 실제 증명문을 쓰는 방법이라기보다 증명의 아이디어를 발견하는 방법이고,

종합법은 그 계획을 바탕으로 증명을 구성하고 실행하는 방법

이라는 점이다.

그래서 이 기출은 단순히 “분석법과 종합법의 뜻을 쓰시오”가 아니라,

문제해결 계획 수립 단계에서 분석법을 사용하고, 계획 실행 단계에서 종합법을 사용한다

는 구조를 묻고 있다.

또 학생 B의 발언은 약간 주의해서 볼 필요가 있는데.

학생 B는 “변 AC가 공통이니까 각이 같아야 한다”고 말하지만, 공통변이라는 사실만으로 두 각이 같아지는 것은 아니고, 평행선에서 생기는 엇각 관계를 이용해야 한다.

교사가 바로 이어서 “두 대변이 평행이어야 한다”고 정리하는 이유도 여기에 있다.

이 문제를 다시 활용한다면, 2022 개정 교육과정의 정당화·증명, 문제해결 계획 수립, 사고를 촉진하는 발문과 연결하여 새 문항으로 만들 수 있다.

[추가질문]

위 기출문제에 근거하여, 교사가 학생의 분석적 사고를 촉진하기 위해 제공할 수 있는 발문 두 가지를 구체적으로 제시하시오.

[모범답안]

① “삼각형 ABC와 삼각형 CDA가 합동이라고 하자.”

(또는, “우리가 보이려는 두 삼각형이 이미 합동이라고 생각해 보자.”)

② “두 삼각형이 합동이 되기 위해서는 어떤 조건들이 성립해야 하는가?” 

(또는, “그렇다면 두 삼각형이 합동이 되기 위해 어떤 조건이 먼저 필요할까?”)

[해설]

첫 번째 발문은 구하려는 결론이 이미 성립했다고 가정하게 하는 것,

두 번째 발문은 그 결론이 성립하기 위해 필요한 선행 조건을 역으로 탐색하게 하는 것이다.