반 힐레(van Hiele)의 기하 사고 수준 중 제3수준(관계적/추상적 인식 수준)에서의 ‘국소적 연역’과 제4수준(형식적 연역 수준)에서의 ‘전면적 연역’은 연역의 범위와 근거, 그리고 체계에 대한 이해도에서 뚜렷한 차이를 보인다.

1. 연역의 범위: 소규모(국소적) vs 전면적

1. 제3수준(국소적 연역): 연역적 추론이 소규모 또는 국소적(local)으로 파악된다. 즉, 도형의 한 성질이 다른 성질의 전제가 된다는 것을 인식하여 부분적으로 연결하는 수준이다.
2. 제4수준(전면적 연역): 기하학의 이론 전체를 전개하는 공리적 방법의 의의를 이해하며, 연역의 의미를 전반적(global)이고 전면적으로 이해한다.

2. 정당화의 근거와 방법

1. 제3수준(비형식적 연역): 자신이 참이라고 알고 있는 지식을 이용하여 비형식적(informal)으로 증명한다. 예를 들어, ‘삼각형의 내각의 합은 180도’라는 사실을 근거로 '사각형의 내각의 합은 360도'임을 연역해내는 방식이다.
2. 제4수준(형식적 연역): 공리나 공준, 정의 등 공리적 체계 내에서 정리를 확립한다. 제시된 조건의 결과로서 결론을 논리적으로 정당화하는 일련의 명제를 만들어내며 형식적(formal) 증명을 구성할 수 있다.

3. 공리적 체계에 대한 인식

1. 제3수준: 도형의 성질들을 논리적으로 정렬하고 개념에 대한 추상적 정의를 형성할 수는 있지만, 완전한 연역적 체계를 전체적으로 파악하지는 못한다.
2. 제4수준: 무정의 용어, 공리, 정의, 정리 사이의 논리적 차이점을 명확히 인식한다. 즉, 단순히 성질 사이의 관계를 아는 것을 넘어 수학적 체계가 구축되는 원리를 이해한다.

4. 요약 비교

(핵심) 임용고사 서술형 대비를 위해서는

제3수준은 ‘성질 사이의 논리적 관계를 파악하는 국소적 조직화’ 단계로, 제4수준은 ‘공리적 체계 내에서 정리를 확립하는 전면적 조직화’ 단계로 구분하여 암기하는 것이 효과적이다.