[모범답안] 

방정식의 미지수뿐 아니라 계수까지도 문자로 정하여 문자의 사용 범위를 확대하였는데, 예를 들어 일차방정식의 계수를 문자 a, b로 정하여 ax-b=0에 대한 일반해를 x=b/a 라고 나타낼 수 있게 되었다. 또한 밑줄 친 ㉡이 뜻하는 용어는 ‘역사 발생적 원리’이고, ㉢에서 ‘수학사를 교육적으로 활용’해야 한다는 것의 의미는 학생이 역사적 발생 과정을 그대로 답습하는 것이 아니라 그들의 현실적 상황에 맞게 수정된 방식으로 재발명하도록 활용한다는 의미이다.

[혜향샘의 해설]

Wagner(1983)의 문자 사용에 대한 이해

Wagner의 「What Are These Things Called Variables?」(Mathematics Teacher, 1983)는 대수에서 사용되는 변수와 문자 기호의 성격을 다룬 글로, 이후 문자와 변수 학습을 설명하는 여러 수학교육 연구에서 인용되어 왔다.

Wagner는 대수에서 문자를 사용하는 것 자체보다 문자의 의미를 이해하는 것이 어렵다는 점에 주목하였다. 문자는 한편으로는 수와 유사하지만 수와 다르고, 다른 한편으로는 일상언어와 유사하지만 일상언어와도 다르다. 따라서 학생이 대수적 언어를 제대로 이해하기 위해서는 문자가 갖는 이러한 독특한 성질을 이해해야 한다.

이를 국내 수학교육 자료에서는 다음의 세 가지 특징으로 정리하여 설명한다.

1. 동시 표현의 성질

문자와 수의 차이에서 나타나는 성질이다.

수는 하나의 특정한 수를 나타내지만, 문자는 일정한 범위 안에서 동시에, 그러나 개별적으로 여러 수를 나타낼 수 있다.

예를 들어 0<n<20에서 n은 하나의 특정한 수에 고정되어 있는 것이 아니라 조건을 만족하는 여러 수를 나타낼 수 있다.

이러한 동시 표현의 성질 때문에 문자식을 이용하여 정의, 공리, 정리, 공식 등을 간결하고 명확하게 표현할 수 있으며, 특히 일반적인 수학적 진술이 가능해진다.

핵심: 하나의 문자 → 여러 값을 동시에·개별적으로 표현 → 일반적 진술 가능

2. 한계 결정의 자유성

(freedom of delimitation property)

문자와 일상언어의 차이에서 나타나는 첫 번째 성질이다.

일상언어는 단어 자체에 명시적 또는 암묵적으로 어느 정도 정해진 의미가 부여되어 있다. 반면 수학에서 사용되는 문자는 처음부터 특정한 의미의 집합에 고정되어 있지 않다.

따라서 수학에서는 문자가 나타낼 대상이나 값의 범위를 필요에 따라 자유롭게 정할 수 있다.

예를 들어 nnn이라는 문자 자체가 자연수인지, 정수인지, 실수인지를 결정하는 것이 아니라,

n∈N,n∈Z,n∈R등과 같이 상황에 따라 그 범위를 정할 수 있다.

이러한 한계 결정의 자유성은 수학 언어에 일반성을 부여한다.

핵심: 문자가 나타낼 범위를 자유롭게 결정 → 수학 언어의 일반성

3. 문자 선택의 자유성

(freedom of choice property)

역시 문자와 일상언어의 차이에서 나타나는 성질이다.

일상언어에서는 표현이 달라지면 그 표현이 가리키는 대상이나 의미도 대체로 달라진다. 그러나 수학에서는 동일한 대상을 나타내기 위해 반드시 특정 문자만 사용해야 하는 것은 아니다.

예를 들어 어떤 수를 x라고 나타낼 수도 있고, a, t, p 등 다른 문자를 사용하여 나타낼 수도 있다. 문자를 바꾼다고 해서 그것이 나타내는 대상까지 반드시 바뀌는 것은 아니다.

이러한 문자 선택의 자유성은 수학 언어에 유연성을 부여한다.

핵심: 대상을 나타낼 문자를 자유롭게 선택 → 수학 언어의 유연성

세 가지를 한 번에 구분하면

특히 한계 결정의 자유성 ↔ 문자 선택의 자유성이 시험에서 헷갈리기 좋습니다.

어떤 값들을 나타낼 수 있는가? → 한계 결정의 자유성

그 값을 무슨 문자로 나타낼 것인가? → 문자 선택의 자유성

그리고 대수 지도의 큰 의미와도 연결됩니다. 문자의 동시 표현의 성질과 한계 결정의 자유성은 일반화를 가능하게 하고, 문자 선택의 자유성은 표현의 유연성을 가능하게 한다고 잡아두면 전체 구조가 잘 연결됩니다.