[모범답안] 

경규의 생각은 유비추론에 해당한다. 교사는 폴리아의 문제해결 4단계 중 계획 수립 단계에서 학생에게 이전에 해결한 유사한 문제나 관련된 문제를 떠올리게 하고, 그 문제의 해결 방법이나 수학적 구조를 현재 문제에 적용하도록 지도할 수 있다.

예를 들어 중심이 (1, 1)이고 반지름의 길이가 1인 원의 방정식을 구한 경험을 떠올리게 한 후, 원과 구가 모두 중심에서 일정한 거리에 있는 점들의 집합이라는 유사성을 이용하여 중심이 (1, 1, 1)이고 반지름의 길이가 1인 구의 방정식을 구하도록 지도할 수 있다.

[혜향샘의 해설]

이 학생의 사고는 유추추론으로 볼 수 있습니다.

다만 결론이 성립하지 않으므로, 정확히는 유한합에서 성립한 성질을 무한합에까지 확장한 잘못된 유추입니다.

학생은 다음 두 상황의 유사성에 주목합니다.

f1+f2+⋯+fn은 연속함수의 유한합이므로 연속이고, f1+f2+⋯도 연속함수들을 더한 것이므로 연속일 것이라고 생각했습니다.

즉,

연속함수들의 유한합은 연속이다

⇓

연속함수들의 무한합도 연속일 것이다

라고 추측한 것입니다.

이는 이미 알고 있는 대상인 유한합의 성질을 새로운 대상인 무한합에 옮겨 적용한 것이므로 유추추론에 해당합니다.

그러나 두 상황에는 본질적인 차이가 있습니다.

1. 유한합은 실제로 유한 번의 덧셈으로 완성된다.
2. 무한합은 부분합수열의 극한으로 정의된다.
3. 극한함수의 연속성을 보장하려면 단순한 점별수렴만으로는 부족하며, 일반적으로 균등수렴과 같은 추가 조건이 필요하다.

따라서 이 학생은 두 상황의 공통점인 ‘연속함수들을 더한다’는 점에는 주목했지만, 무한합에는 극한 과정이 포함된다는 차이점을 고려하지 못했습니다.

폴리아의 문제해결 과정과 연결

이 사고는 특히 계획 수립 단계에서 나타난 유추추론으로 설명할 수 있습니다.

이전에 풀어 본 유사한 문제인 ‘연속함수들의 유한합은 연속이다’를 떠올려, 이를 연속함수들의 무한합에도 적용하여 극한함수 f가 연속일 것이라고 추측하였다.

그다음 교사는 계획 실행 및 반성 단계에서 다음을 검토하도록 지도해야 합니다.

유한합과 무한합 사이에는 어떤 차이가 있는가?

점별수렴만으로 극한함수의 연속성이 보존되는가?

이 추측에 대한 반례를 찾을 수 있는가?

따라서, 임용 답안을 작성할 때,

학생은 연속함수들의 유한합이 연속이라는 이미 알고 있는 사실과 연속함수들의 무한합 상황 사이의 유사성을 바탕으로 극한함수도 연속일 것이라고 추측하였으므로 유추추론을 사용하였다. 그러나 유한합과 달리 무한합에는 극한 과정이 포함되며 점별수렴만으로는 연속성이 보존되지 않으므로, 이는 두 상황의 본질적인 차이를 고려하지 않은 잘못된 유추이다.

학생들이 흔히 묻는 “귀납적 외삽법인가?”와도 구분할 필요가 있습니다.

이 장면의 핵심은 몇 개의 사례에서 규칙을 발견해 다음 경우를 예측한 것이 아니라, 유한합이라는 유사한 문제의 성질을 무한합에 전이한 것이므로 유추추론이라고 보는 것이 더 적절합니다.

추가자료 몇 개 전달해볼게요!!!

추가 문제 1

유비추론을 문제해결에 활용할 때 유의해야 할 점을 한 가지 쓰고, 이를 위 상황과 관련지어 설명하시오.

모범답안

유비추론을 통해 얻은 결론은 유사성에 근거한 추측일 뿐 반드시 참인 것은 아니므로, 두 상황의 차이점을 검토하고 결론을 정당화하거나 반례를 찾아 검증해야 한다. 위 상황에서는 연속함수의 유한합과 무한합이 모두 함수의 합이라는 점에서는 유사하지만, 무한합에는 극한 과정이 포함된다는 차이가 있다. 따라서 유한합의 연속성을 무한합에 그대로 적용하지 말고, 점별수렴만으로 극한함수의 연속성이 보장되는지 검토해야 한다.

추가 문제 2

경규의 추론에서 나타난 문제점을 유비추론의 관점에서 설명하고, 이를 교정하기 위한 교사의 발문을 한 가지 제시하시오.

모범답안

경규는 연속함수의 유한합과 무한합이 모두 연속함수들을 더한 것이라는 유사성에만 주목하고, 무한합에는 부분합수열의 극한 과정이 포함된다는 차이를 고려하지 않았다. 따라서 유한합에서 성립하는 성질을 무한합에 부적절하게 확장하였다.

교사는 “유한개의 함수를 더하는 것과 무한히 많은 함수의 합을 극한으로 정의하는 것 사이에는 어떤 차이가 있을까?” 또는 “점별수렴만으로 극한함수의 연속성이 항상 보장되는지 반례를 찾아볼 수 있을까?”와 같이 발문할 수 있다.

추가 문제 3

경규가 유비추론을 통해 세운 결론을 폴리아의 문제해결 4단계 중 반성 단계에서 검토하도록 지도하는 방안을 서술하시오.

모범답안

반성 단계에서 교사는 경규가 연속함수의 유한합과 무한합 사이의 유사성만을 근거로 결론을 내렸음을 확인하게 하고, 두 상황의 차이점을 다시 검토하도록 지도한다. 특히 무한합에는 극한 과정이 포함된다는 점과 점별수렴만으로 극한함수의 연속성이 보장되지 않는다는 점을 살펴보게 하며, 반례를 통해 자신의 추측이 일반적으로 성립하지 않음을 확인하게 한다.

궁금한 기출문제가 있으면 언제든 질문하세요^~~^