수학적 모델링과 프로이덴탈의 수학화는 모두 현실적인 상황에서 출발하여 이를 수학적으로 조직하고, 수학적 활동을 통해 문제를 해결하거나 수학적 지식을 형성한다는 공통점이 있다.
즉, 완성된 수학적 지식을 단순히 전달받는 것이 아니라 학습자가 현실적인 상황을 수학적으로 다루는 활동을 중요하게 본다.
수학적 모델링은 현실의 문제 상황을 수학적으로 해결하기 위하여 현실 상황을 단순화하고 수학적 문제로 변환하여 수학적 모델을 구성한 후, 이를 수학적으로 처리하고 그 결과를 현실 상황에 맞게 해석하고 검증하는 과정이다.
일반적으로 다음과 같은 순환적인 과정을 거친다.
현실 상황 → 단순화·가정 → 수학적 모델 구성 → 수학적 처리 → 결과 해석 → 현실에서의 검증 → 모델 수정
수학적 모델링에서 중요한 점은 수학적 결과를 얻는 데서 끝나는 것이 아니라, 그 결과가 원래의 현실 상황에서 적절한지 다시 해석하고 검증하며 필요하면 모델을 수정한다는 것이다.
프로이덴탈은 수학을 이미 완성된 지식 체계가 아니라 인간의 활동으로 보았다. 따라서 학습자는 현실적인 것으로 체험된 세계에서 출발하여 수학적 지식을 스스로 조직하고 형식화해 가야 한다고 보았다.
수평적 수학화는 현실적인 것으로 체험된 세계에서 문제를 수학적으로 표현하고 조직하여 수학적 세계로 이행하는 과정이다.
즉,
현실적 상황 → 수학적 표현·관계·구조
의 과정이다.
수직적 수학화는 이미 형성된 수학적 세계 안에서 기호화, 일반화, 형식화, 구조화 등을 통하여 보다 높은 수준의 수학으로 발전하는 과정이다.
즉,
수학적 표현 → 보다 일반적·형식적인 수학적 구조
의 과정이다.
두 관점은 모두 현실에서 수학으로 나아가는 활동을 강조하지만 초점이 다르다.
수학적 모델링은 현실 문제를 수학을 이용하여 해결하고, 그 결과를 다시 현실에서 해석하고 검증하는 과정에 초점을 둔다.
반면 프로이덴탈의 수학화는 현실적인 상황에서 출발하여 수학적 개념과 지식을 점진적으로 조직하고 형식화하는 과정에 초점을 둔다.
따라서 다음과 같이 정리할 수 있다.
수학적 모델링
: 현실 문제의 해결과 현실로의 재해석·검증 강조
프로이덴탈의 수학화
: 현실에서 출발한 수학적 지식의 조직과 형식화 강조
수학적 모델링의 의미와 과정을 서술하시오.
수학적 모델링은 현실의 문제 상황을 수학적으로 해결하기 위하여 현실 상황을 단순화하고 수학적 모델을 구성한 후, 이를 수학적으로 처리하고 그 결과를 현실 상황에 맞게 해석하고 검증하는 과정이다. 이 과정에서 수학적 결과가 현실 상황에 적절하지 않을 경우 모델을 수정하므로 순환적인 특징을 가진다.
프로이덴탈의 수평적 수학화와 수직적 수학화를 서술하시오.
수평적 수학화는 현실적인 것으로 체험된 세계에서 문제를 수학적으로 표현하고 조직하여 수학적 세계로 이행하는 과정이다. 수직적 수학화는 이렇게 형성된 수학적 세계 안에서 기호화, 일반화, 형식화, 구조화 등을 통하여 보다 높은 수준의 수학으로 발전하는 과정이다.
수학적 모델링과 프로이덴탈의 수학화의 공통점과 차이점을 서술하시오.
수학적 모델링과 프로이덴탈의 수학화는 모두 현실적인 상황에서 출발하여 이를 수학적으로 조직한다는 공통점이 있다. 그러나 수학적 모델링은 현실 문제를 수학적 모델로 표현하고 해결한 후 그 결과를 현실 상황에서 해석하고 검증하는 과정에 초점을 두는 반면, 프로이덴탈의 수학화는 현실적인 것으로 체험된 세계에서 출발하여 수학적 지식을 점진적으로 조직하고 형식화하는 과정에 초점을 둔다.