1. 수학화: 프로이덴탈의 교수·학습 원리

수학화는 특히 프로이덴탈의 현실적 수학교육론에서 핵심적인 교수·학습 원리로 다루어집니다.

프로이덴탈은 수학을 이미 완성된 지식 체계가 아니라, 학습자가 현실이나 현상을 수학적으로 조직해 가는 인간의 활동으로 보았습니다. 따라서 학생은 교사가 제시한 수학적 결과를 그대로 받아들이기보다, 현실적 맥락에서 출발하여 수학을 재발명해야 합니다.

1. 수평적 수학화: 현실적·맥락적 상황을 식, 표, 그래프, 도형 등의 수학적 표현으로 조직하는 과정
2. 수직적 수학화: 수학적 세계 안에서 표현을 변형하고, 관계를 발견하며, 일반화·형식화하는 과정

따라서 다음과 같이 말할 수 있습니다.

수학화는 프로이덴탈의 현실적 수학교육론에서 학습자가 현실을 수학적으로 조직하고, 그 수학적 활동을 일반화·형식화해 가는 핵심 교수·학습 원리이다.

다만 ‘수학화라는 용어는 오직 프로이덴탈에게만 해당한다’고 말하는 것은 지나칩니다. 수학적 모델링에서도 현실 상황을 수학적 표현으로 바꾸는 과정을 수학화라고 부르기 때문입니다.

2. 문제제기: 문제해결의 생성 단계

문제제기는 일반적으로 문제해결 교육과 관련된 활동으로 볼 수 있습니다.

기존의 문제해결이 주어진 문제를 푸는 데 초점을 둔다면, 문제제기는 학습자가

1. 새로운 문제를 만들거나,
2. 주어진 문제를 변형하거나,
3. 해결 과정에서 새로운 질문을 생성하는

활동입니다.

따라서 문제제기는 단순히 문제해결 이전에만 이루어지는 것이 아니라,

문제해결 전·중·후에 새로운 문제를 생성하고 변형하는 활동

으로 이해하는 것이 좋습니다.

예를 들어 3+5=8이라는 식에서

1. 합이 8이 되는 다른 두 수를 찾아보자.
2. 세 수의 합이 8이 되도록 문제를 바꾸어 보자.
3. 자연수가 아니라 정수로 범위를 넓히면 어떻게 될까?

와 같이 새로운 질문을 만드는 것이 문제제기입니다.

3. 수학적 모델링: 현실 문제를 해결하는 문제해결 과정

수학적 모델링도 넓은 의미에서는 수학적 문제해결의 한 형태입니다. 특히 현실 세계의 문제를 수학을 이용하여 해결한다는 점이 핵심입니다.

그러나 일반적인 문제해결과 달리 수학적 모델링은 다음의 왕복 과정이 강조됩니다.

현실 상황 → 가정과 단순화 → 수학화 → 수학적 모델 → 수학적 해결 → 현실적 해석 → 검증과 수정

즉, 답을 계산하는 것에서 끝나지 않고, 계산 결과가 현실 상황에 적절한지 검토하고 필요하면 가정이나 모델을 수정합니다.

따라서 다음처럼 표현하는 것이 적절합니다.

수학적 모델링은 현실 문제를 수학적 모델로 표현하고 해결한 후, 그 결과를 현실에 비추어 해석·검증하고 모델을 수정하는 순환적인 문제해결 과정이다.

세 용어의 관계

중요한 점은 서로 완전히 분리된 개념은 아니라는 것입니다.

1. 문제제기는 수학적 모델링에서 현실 문제를 구체화하는 과정에 포함될 수 있습니다.
2. 수학화는 수학적 모델링에서 현실 상황을 수학적 모델로 바꾸는 핵심 과정입니다.
3. 수학적 모델링은 문제해결의 한 유형이지만, 현실과 수학 사이의 반복적인 이동이 강조됩니다.