<1>

다음은 [공통수학2]의 ‘집합과 명제’ 영역에서 보인 수업 대화이다. 읽고 물음에 답하시오. [4점]

1. 교 사 : (여러 가지 평행사변형 모양의 사각형을 제시하며) 이 사각형들을 잘 관찰해 봅시다. 공통으로 나타나는 성질은 무엇일까요? 그리고 그 성질을 바탕으로 ‘정의’를 만들어 봅시다.
2. 학생 1 : 저는 마주 보는 변의 길이가 항상 같다는 점을 발견했어요. 그래서 “두 쌍의 대변의 길이가 각각 같은 사각형”을 평행사변형의 정의로 삼고 싶어요. [가]
3. 학생 2 : 하지만 학생 1의 말대로라면, 평행하다는 보장이 없어도 대변의 길이만 같으면 모두 평행사변형이 되나요? 정의는 조금 더 근본적인 성질인 “두 쌍의 대변이 각각 평행하다”는 것으로 정하는 게 논리적 으로 더 튼튼할 것 같아요. [나]
4. 교 사: “근본적인 성질”이라는 표현이 나왔네요. 그렇다면 학생 1의 성질과 학생 2의 성질은 어떤 관계일까요?
5. 학생 3 : 저는 두 성질이 연결되어 있다고 생각해요. 만약 학생 2의 정의처럼 대변이 평행하다면, 대각선을 그어서 삼각형을 만들 수 있고, 그 삼각형들의 합동을 이용하면 대변의 길이가 같다는 것도 증명할 수 있어요. 그래서 학생 1의 성질은 정의가 아니라 정리처럼 따라 나오는 성질이라고 생각합니다. [다]
6. 교 사: 아주 중요한 이야기네요. 그러면 지금 우리는 어떤 일을 하고 있는 걸까요?
7. 학생 2: 성질들 중에서 무엇을 정의로 삼고, 무엇을 그 결과 로 볼지 정하고 있는 것 같아요.
8. 학생 1: (삼각형의 합동으로 직접 증명해 본 후) 아, 정말 그렇네요! 제가 찾은 성질은 평행하다는 조건에서 자연스럽게 유도되네요. 이제 저도 학생 2의 정의를 사용하는 것이 더 적절하다고 생각해요.
9. 교 사: 좋습니다. 그럼, 우리 반 모두 학생 2의 제안을 평행사변형의 약속으로 정하는 데 동의하나요? (학생들 모두 고개를 끄덕인다.) [라]
10. 학생 4: 그런데 궁금한 게 있습니다. 이미 초등학교에서 평행사변형은 ‘두 쌍의 대변이 평행한 사각형’이라고 배웠는데, 왜 우리가 여기서 다시 정의를 하고 증명까지 해야 하나요?
11. 교 사:(생략)

<2>

다음은 중학교 2학년 ‘사각형의 성질’ 단원에서의 수업 대화이다. 읽고 물음에 답하시오. [4점]

1. 교사: (여러 가지 평행사변형 모양의 사각형을 제시하며)
2. 이 사각형들을 잘 관찰해 봅시다. 공통으로 나타나는 특징은 무엇일까요?
3. 학생1: 저는 마주 보는 변의 길이가 항상 같다는 것을 발견했어요.
4. 교사: 좋은 관찰이네요. 또 다른 특징도 있을까요?
5. 학생2: 마주 보는 두 변이 서로 평행해요.
6. 교사: 그렇군요. 그렇다면 우리는 어떤 특징을 가지고 평행사변형이라고 부르면 좋을까요?
7. 학생1: 저는 “두 쌍의 대변의 길이가 각각 같은 사각형”이라고 하면 될 것 같아요.
8. 학생2: 그런데 대변의 길이만 같다고 해서 꼭 평행하다고 할 수 있을까요? 저는 “두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형”이라고 하는 것이 더 알기 쉬운 것 같아요. [가]
9. 교사: 흥미로운 의견이네요. 그렇다면 학생1이 말한 특징과 학생2가 말한 특징은 서로 어떤 관계가 있을까요?
10. 학생3: 저는 연결되어 있다고 생각해요. 대변이 서로 평행하면 대각선을 그어서 삼각형의 합동을 이용할 수 있고, 그러면 대변의 길이가 같다는 것도 알 수 있어요. [나]
11. 교사: 아주 중요한 설명이네요. 그러니까 학생1이 발견한 것은 평행사변형에서 항상 나타나는 성질이라고 볼 수 있겠군요.
12. 학생1: 아, 정말 그러네요! 저는 길이가 같음을 직접 확인해서 알고 특징이라고 생각했는데, 평행하다는 것에서 자연스럽게 나오는 결과였네요.
13. 교사: 좋습니다. 그럼 우리 반에서는 “두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형”을 평행사변형이라고 부르기로 약속해 봅시다. [다]
14. (학생들 모두 고개를 끄덕인다.)
15. 학생4: 그런데 궁금한 게 있습니다. 이미 초등학교에서 평행사변형이라고 약속했고 두 쌍의 대변이 평행하다는 것을 이용해서 여러 가지 문제도 풀어보았는데, 왜 여기서 다시 약속을 해야 하는 건가요?
16. 교사: 초등학교에서는 평행사변형의 기본적인 뜻을 알아보았다면, 중학교에서는 그 성질이 왜 성립하는지 이유를 설명하고, 여러 성질들이 서로 어떻게 연결되는지도 함께 알아보는 것입니다. 그래서 단순히 도형의 성질을 아는 것에서 나아가 논리적으로 설명하는 수학을 배우는 것이지요. [라]

<작성방법>

◦ 프로이덴탈의 ‘국소적 조직화(Local Organization)’ 관점에서 아래 두 질문에 답하시오.

◦ 학생들의 활동에서 보인 ‘국소적 조직화’ 모습을 서술할 것

◦ 마지막 교사의 (생략)된 답변을 제시할 것

◦ 사회적 구성주의 관점에서 주관적 지식이 객관적 지식으로 이행되는 3단계를 제시하고, 대화의 [가]~[라]와 연결지을 것

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위의 문제를 <1>과 <2>로 구분한 이유는, 2022개정 수학과 교육과정 중학교에서는 정의, 정리라는 단어를 쓰지 않습니다.

그런데, 제가 5월 모의고사에서 '정의'라는 단어를 써서 문제를 출제했더라구요.

음... 다음번에는 조심하겠습니다.