이 논문은 중학교 2학년 학생들을 대상으로 수학적 관계적 이해와 창의적 문제발견능력 사이의 상관관계를 심층 분석하였다.
연구 결과, 원리와 이유를 파악하는 관계적 이해 수준이 높을수록 주어진 상황을 수학적으로 해석하는 수학화 능력과 여러 개념을 결합하는 개념 결합능력이 유의미하게 향상되는 것으로 나타났다.
비록 수학적 사실 확장능력과의 통계적 관련성은 명확히 입증되지 않았으나, 전반적으로 높은 이해 수준을 가진 학생들이 유추 및 귀납 추리에서 더 우수한 성취를 보였다.
따라서 본 연구는 단순 암기식 학습보다 개념적 구조를 체계화하는 교육이 학생들의 독창적인 문제 생성 및 해결력 발달에 필수적임을 시사한다.
결론적으로 수학적 창의성을 높이기 위해서는 학습자가 지식 간의 유기적 연결성을 깨달을 수 있는 교수 학습 방법의 도입이 중요하다.
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'유추(Analogy)' 및 유추능력의 의미와 특징
'유추': 이미 알고 있는 수학적 사실(예: 특정 사각형의 성질)을 바탕으로 유사한 다른 상황(예: 다른 사각형)에 적용하여 새로운 명제를 찾아내는 확장 능력
Q. 다음 질문에 대해 본문의 내용을 바탕으로 2~3문장 내외로 답하십시오.
=> 관계적 이해는 방법과 이유를 모두 알고 일반적인 관계로부터 특정한 규칙을 연역할 수 있는 상태를 말하며, 도구적 이해는 원리는 모른 채 규칙만을 적용하여 정답을 찾는 상태를 의미합니다. Skemp는 의미 있고 창의적인 학습을 위해 관계적 이해가 필수적이라고 주장했습니다.
=>창의적 수학 문제해결력은 어떤 문제 상황이 주어졌을 때 적절하게 문제를 발견하고 구성하여, 다양하고 독창적인 방법으로 문제를 해결해 나가는 능력을 말합니다. 이는 산출물 중심이 아니라 문제를 해결해 나가는 전 과정에 기반을 둡니다.
=> 수학화 능력은 주어진 도형, 그림, 사회 현상이나 자연 현상과 같은 여러 가지 수학적 현상으로부터 수학적 성질을 추출하거나 수학적 문제를 발견해내는 능력을 의미합니다.
=> 유창성(만든 문제의 개수), 융통성(문제를 만드는 데 사용한 정보나 범주의 다양성), 독창성(다른 학생들이 생각하지 못한 새로운 유형이나 범주의 문제를 만드는 능력)의 세 가지를 고려합니다.
=> 유비추론능력은 기존 사각형의 성질을 바탕으로 다른 사각형의 명제를 찾아내는 능력을 측정하며, 귀납추리능력은 개별적인 증명 과정들을 조합하여 일반적이고 보편적인 명제가 참임을 밝히는 능력을 측정합니다.
=> 관계적 이해는 수학적 개념 결합능력의 하위 요소 중 융통성(r=.368)과 가장 높은 상관관계를 보였습니다. 이는 개념을 관계적으로 이해할수록 정보를 다양하게 활용하는 능력이 높아짐을 시사합니다.
=> 도형에 대한 관계적 이해는 하나의 개념을 바탕으로 다른 도형의 개념체계를 단계적으로 발전시키고 기억하는 데 도움을 주기 때문입니다. 따라서 관계적 이해 수준이 높을수록 다양한 도형을 정확히 발견하고 그 성질을 인지하는 능력이 뛰어납니다.
=> 많은 학생들이 앞선 수학화 및 개념 결합 문제에 시간을 많이 소비하여 사실 확장능력 문제를 풀 시간이 부족했기 때문입니다. 하지만 통계적 유의성과 별개로, 관계적 이해 수준이 높은 학생들의 응답률과 점수는 저그룹보다 월등히 높았습니다.
=> 스키마는 여러 개념 간의 유기적인 개념 구조를 의미하며, Skemp는 이해하는 것을 '적당한 스키마에 동화시키는 것'으로 보았습니다. 관계적 수학 학습은 학습자가 스키마 안에서 무한히 많은 길을 만들어낼 수 있도록 도와 창의적 문제발견을 가능케 합니다.
=> 교사는 학생들에게 수학적 원리를 암기시키기보다 관계적 이해에 바탕을 둔 수업을 진행해야 합니다. 또한 창의적 문제발견 능력을 강화할 수 있는 다양한 과제를 제공하여 개념들이 유기적으로 연결될 수 있도록 노력해야 합니다.
핵심 용어 사전 (Glossary)
| 용어 | 정의 |
| 관계적 이해 (Relational Understanding) | 무엇을 해야 할지, 그리고 그 규칙이 왜 적용되는지를 알고 문제해결에 적용하며, 특정한 법칙이나 알고리즘을 연역할 수 있는 상태. |
| 도구적 이해 (Instrumental Understanding) | 이유는 모른 채 주어진 규칙만을 적용하여 정답을 찾아내는 상태. |
| 문제발견능력 (Problem Finding Ability) | 문제를 찾아내거나 형성하고 창조하기 위한 행동, 태도, 사고과정의 복합체로, 문제 상황에서 목표와 현재 상태의 불일치를 발견하는 능력. |
| 수학화 능력 (Mathematising Ability) | 현실 세계나 수학적 현상(그림, 도형 등)으로부터 수학적 성질을 추출하여 문제를 발견하는 능력. |
| 수학적 개념 결합능력 | 일련의 수학적 개념이나 정보를 나열한 것으로부터 적절한 개념을 추출하여 유의미한 문제를 만드는 능력. |
| 수학적 사실 확장능력 | 기존의 수학적 명제를 확장하거나 일반화하는 능력으로, 유추능력과 귀납추리능력을 포함함. |
| 유창성 (Fluency) | 생성해낸 아이디어나 기술된 문장, 개념, 문제의 양적인 개수. |
| 융통성 (Flexibility) | 사고의 유연성을 의미하며, 기술된 문장이나 개념이 얼마나 다양한 범주(유목)를 포함하고 있는지를 측정함. |
| 독창성 (Originality) | 다른 사람들이 생각하지 못한 새롭고 독특한 아이디어나 문제를 만들어내는 능력 (통계적 희소성으로 평가). |
| 스키마 (Schema) | 여러 개념 간의 개념 구조를 의미하며, 새로운 지식을 통합하고 이해를 가능하게 하는 인지적 틀. |
| 유추능력 (Analogical Reasoning) | 주어진 정보나 도형의 성질을 바탕으로 유사한 다른 상황의 성질이나 명제를 찾아내는 능력. |
| 귀납추리능력 (Inductive Reasoning) | 개별적인 사실이나 증명 과정들을 종합하여 보편적인 법칙이나 명제가 참임을 밝히는 능력. |